等比例求和公式计算器 | 等比数列求和 首项公比项数算和

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列，这个常数叫做等比数列的公比。掌握等比例求和计算公式是等比数列求和、首项公比项数算和的核心。本工具支持首项、公比、项数输入，一步解决等比数列求和如何算的问题。

基本概念

• 首项 (a₁)：等比数列的第一个数
• 公比 (q)：数列中后项与前项的比值（q≠0）
• 项数 (n)：等比数列中数的个数
• 末项 (aₙ)：等比数列的最后一个数，aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹
• 前n项和 (Sₙ)：等比数列前n个数的总和

等比例求和公式（核心）

等比数列前n项和的计算公式分两种情况：

当 q ≠ 1 时：

Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q)

或

Sₙ = (a₁ - aₙ × q) / (1 - q)

当 q = 1 时（所有项相等）：

Sₙ = n × a₁

等比数列末项公式

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

等比例求和计算注意事项

• 公比 q 不能为0，否则数列无意义
• 当 |q| > 1 时，数列各项绝对值递增；当 |q| < 1 时，数列各项绝对值递减
• 当 q = 1 时，数列为常数列，求和公式简化为 Sₙ = n × a₁

等比例求和计算步骤

1. 确定等比数列的首项 (a₁)、公比 (q) 和项数 (n)
2. 判断公比 q 是否等于 1：
   • q = 1 时，使用 Sₙ = n × a₁ 计算
   • q ≠ 1 时，使用 Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q) 计算
3. （可选）计算末项 aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹
4. 根据需要保留指定精度的小数位数

计算示例

示例1：首项a₁=2，公比q=2，项数n=5

S₅ = 2 × (1 - 2⁵) / (1 - 2) = 2 × (1 - 32) / (-1) = 2 × (-31) / (-1) = 62

示例2：首项a₁=10，公比q=0.5，项数n=4

S₄ = 10 × (1 - 0.5⁴) / (1 - 0.5) = 10 × (1 - 0.0625) / 0.5 = 10 × 0.9375 / 0.5 = 18.75

示例3：首项a₁=5，公比q=1，项数n=8（常数列）

S₈ = 8 × 5 = 40