阶乘计算器 - 在线计算阶乘
专业的阶乘计算工具，支持阶乘、双阶乘、伽马函数等多种计算
阶乘表达式
n! = 5!
5 × 4 × 3 × 2 × 1
阶乘计算器
计算 n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1
输入 0-170 之间的整数
常用阶乘示例
相关计算
阶乘（Factorial）知识介绍
基本概念
阶乘（Factorial）是一个数学概念，指从1到某个正整数n的所有整数的乘积，记作n!。
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
特别地，根据定义，我们规定：0! = 1
数学性质
- 递推关系： n! = n × (n-1)!
- 定义： 0! = 1, 1! = 1
- 伽马函数： 对于正整数n，Γ(n+1) = n!
- 阶乘的增长： 阶乘函数增长非常快，10! = 3,628,800，而20!已经达到2.43×10¹⁸
常见阶乘值
| n | n! | 说明 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 根据定义 |
| 1 | 1 | 1×1 |
| 2 | 2 | 2×1 |
| 3 | 6 | 3×2×1 |
| 4 | 24 | 4×3×2×1 |
| 5 | 120 | 5×4×3×2×1 |
| 6 | 720 | 常用数值 |
| 7 | 5,040 | 一周的分钟数 |
| 8 | 40,320 | 常用数值 |
| 9 | 362,880 | 常用数值 |
| 10 | 3,628,800 | 百万级 |
特殊阶乘函数
双阶乘 (Double Factorial)
n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × (2 或 1)
当n为偶数时，乘到2；当n为奇数时，乘到1。
错位排列 (Subfactorial)
!n = n! × Σ_{k=0}^{n} (-1)^k / k!
也称为德蒙瑞特数，表示没有元素在自己原始位置的全排列数。
超阶乘 (Superfactorial)
sf(n) = ∏_{k=1}^{n} k!
1! × 2! × 3! × ... × n! 的乘积。
计算原理
精确计算方法：
- 直接乘法： 对于较小的n（n ≤ 20），直接使用整数乘法计算
- 大数运算： 对于较大的n，使用大整数（BigInt）或特殊算法
- 预计算表： 常用阶乘值可预先计算并存储
近似计算方法：
- 斯特林公式： n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n
- 伽马函数： n! = Γ(n+1)
- 数值积分： 使用数值方法计算积分 Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z-1}e^{-t}dt
实际应用
排列组合
排列数：P(n,r) = n!/(n-r)!
组合数：C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
概率统计
二项分布、泊松分布等概率分布公式中都包含阶乘
遗传学
计算基因型组合、染色体排列的可能性
密码学
计算密钥空间大小、排列可能性等
注意事项
- 阶乘函数增长速度极快，计算大数阶乘时需注意数值溢出问题
- 普通计算机通常只能精确计算到20!左右（约2.43×10¹⁸）
- 对于更大的n，通常使用斯特林公式进行近似计算
- 阶乘只定义在非负整数上，对于其他实数需要使用伽马函数
- 负整数的阶乘是未定义的，但可以通过伽马函数的解析延拓得到复数值