向量计算器 · 在线向量运算工具｜加法减法点积叉积模长计算
支持2D和3D向量的加法、减法、点积、叉积以及模长计算，输入向量分量即可快速获得精确计算结果。
📌 向量 A
📍 向量 B
计算结果 · 向量分析
👈 请选择向量维度和运算类型后点击计算
支持加法、减法、点积、叉积和模长运算
📐 什么是向量计算器？
向量计算器是一款专业的在线数学工具，用于执行二维和三维向量的基本运算。向量是数学和物理学中的核心概念，它既有大小又有方向，使用坐标分量（x, y, z）来表示。向量计算器能够帮助用户快速完成向量加法、减法、点积、叉积以及模长计算，无需手动套用公式，只需输入各个分量即可获得精确结果。无论是在学习线性代数、解决物理力学问题，还是进行计算机图形学编程，向量计算器都能显著提升计算效率，避免人工计算错误。它支持2D平面向量和3D空间向量两种模式，覆盖了从高中几何到高等数学的各种向量运算需求。
⚙️ 向量运算的原理与公式
一、向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。公式为：A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)。向量加法满足交换律和结合律，结果向量的方向是两个向量合成后的方向，大小则取决于两个向量之间的夹角。
二、向量减法
向量减法可以理解为加上反向向量，即将对应分量相减。公式为：A - B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)。向量减法常用于计算位移差、速度差等物理量。
三、向量点积
点积也称为内积或数量积，结果是一个标量。计算公式为各分量乘积之和：A · B = Ax×Bx + Ay×By + Az×Bz。点积的几何意义是 |A|×|B|×cos(θ)，可用于计算两向量之间的夹角，当点积为0时表示两向量垂直。
四、向量叉积
叉积也称为外积或向量积，结果是一个向量，垂直于原来的两个向量构成的平面，方向由右手定则确定。2D叉积结果为一个标量，表示有向面积；3D叉积公式为：A×B = (Ay×Bz - Az×By, Az×Bx - Ax×Bz, Ax×By - Ay×Bx)。
五、向量模长
模长表示向量的长度或大小，是一个非负标量。计算公式为各分量平方和的平方根：|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)。在几何中表示点到原点的距离，在物理中可表示力的大小、速度的快慢等。
📖 如何使用本向量计算器？
第一步：选择维度 —— 在顶部下拉菜单中选择2D或3D向量，系统会自动调整输入框数量。2D模式显示x和y分量输入框，3D模式额外显示z分量输入框。
第二步：输入向量A —— 在向量A区域输入各个分量的数值，可以输入整数、小数或负数，支持任意实数。
第三步：选择运算类型 —— 从运算下拉菜单中选择加法、减法、点积、叉积或模长。选择模长时只需输入向量A，向量B输入区域会自动隐藏。
第四步：输入向量B（如需要） —— 如果选择的运算需要两个向量，在向量B区域输入相应分量。叉积运算在3D模式下会产生一个新的三维向量。
第五步：点击计算按钮 —— 点击绿色的"计算向量"按钮，右侧面板会立即显示详细计算结果，包括结果数值和计算说明。
⚠️ 常见问题与注意事项
输入值类型： 向量分量必须是有效的数值，支持正数、负数和零。空值或非数值输入会导致计算错误，请确保所有输入框都填写了有效数字。
叉积维度限制： 叉积在3D模式下生成一个三维向量结果，在2D模式下结果为标量。如果在2D模式下选择叉积，计算结果将是一个数值而非向量。
模长计算的独立性： 选择模长运算时，仅需输入向量A即可，向量B将被忽略。结果是一个非负的标量值。
计算精度： 本工具计算结果保留两位小数，能够满足绝大多数学习和工程应用场景的需求。对于需要更高精度的科学计算，建议使用专业数学软件。
向量定义： 向量是既有大小又有方向的量，在坐标系中用分量表示。零向量（所有分量为0）的模长为0，方向未定义，在进行某些运算时需特别留意。
隐私保护： 本工具为纯前端实现，所有计算均在您的浏览器本地完成，不会上传任何数据到服务器，确保您的使用安全和隐私。
应用场景： 向量计算广泛应用于物理学（力的合成与分解）、工程学（结构力学分析）、计算机图形学（3D变换与光照计算）、机器学习（特征向量运算）等领域。